On trouve ainsi que M est une matrice diagonale qui est déjà égale D !! Puissance d’une matrice semblable. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Il faut tout d’abord remarquer que toutes les matrices ne sont pas diagonalisables. —. — Les éléments propres sont les valeurs propres, les vecteurs propres et les sous-espaces propres associés aux valeurs propres.. Une valeur propre est un scalaire (souvent un réel) : elle est souvent notée λ. S’il est scindé, on calcule les sous-espaces propres de chaque valeur propre, en terminant par celles dont la multiplicité est 1 (car elles ne posent pas problème) : on obtient des bases de chaque sous-espace. Diagonalisation des matrices sym etriques r eelles. La réciproque se montre assez facilement (tu peux t’entraîner à le faire ). {\displaystyle u_{i}} Calcul des valeurs propres : le polynôme caractéristique La boucle est bouclée ! Si nous voulons diagonaliser A, nous avons besoin de déterminer les vecteurs propres correspondants. D'où la question: est il possible de trouver une base particulière de dans laquelle la … (x – 3)2(x + 7)(x – 4)9 est scindé mais n’est pas à racines simples. On a vu qu’il y en avait une infinité, mais il y a un point important à remarquer : si M a n valeurs propres distinctes, chaque sous-espace propre associé est de dimension 1 ! Pour trouver le sous-espace propre associé à la valeur propre 4, on résout : Valeurs propres d’un endomorphisme 12 5.2. II) La diagonalisation d’une matrice 1) Définition Définition 2 Considérons une matrice carrée Ad’ordre n. La matrice Aest diagonale s’il existe une matrice d’ordre n,inversible Stelle que la matrice S−1ASsoit diagonale. Retiens bien tout ce vocabulaire car il ne faut pas tout mélanger ! 2 0 Nous verrons aussi à quoi sert la diagonalisation d’une matrice. Saches tout d’abord qu’on ne peut diagonaliser que des matrices carrées, donc toutes les matrices que l’on cherchera à diagonaliser seront carrées (on ne le précisera donc pas à chaque fois). Ce procédé se ramène donc à une réduction maximale de l'endomorphisme, c'est-à-dire à une décomposition de l'espace vectoriel en une somme directe de droites vectorielles stables par l'endomorphisme. 1 En réalité, c’est plus la contraposée qui est intéressante ici : — En calculant ce déterminant, on obtient un polynôme dont la variable est λ (voir le cours sur le déterminant pour avoir plus de précisions sur la manière de calculer ce déterminant). Exercice 2 Soit . 11 4.3. λ est une valeur propre de M si et seulement si M – λ Id n’est pas inversible. ( Une fois les racines trouvées, on peut alors calculer les dimensions des sous-espaces propres et vérifier que la somme est égale à la dimension de l’espace (ou pas). i Si en revanche on trouve qu’un sous-espace propre n’a pas la même dimension que la multiplicité de la racine, alors cela ne sert à rien de continuer car la matrice ne sera pas diagonalisable (enfin tu peux continuer évidemment mais tout dépend de la question de l’énoncé : si tu cherches juste à savoir si la matrice est diagonalisable ou non, cela ne sert à rien de continuer). 1 La matrice P est alors la matrice de changement de base (ce pourquoi elle est inversible). , donc cette matrice est diagonalisable. − 1 T A En effet, un premier théorème nous dit que : — Mais on a vu précédemment qu’il y a plusieurs vecteurs propres (tous ceux proportionnels à un vecteur propre). 0 Valeurs propres d’une matrice sym etrique r eelle. u {\displaystyle (A-2I_{3})X=0\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}-2&3&-1\\2&-3&1\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=0\Leftrightarrow -2x_{1}+3x_{2}-x_{3}=0}, Donc commutent deux à deux. + Si. Attention, si on a (λ – 7), la racine est 7, si on a (λ + 8), la racine est -8… Considérons le produit : . = Corrigé de l’exercice 10 : 1/ ; est scindé à racines simples, donc est diagonalisable.,. A noter : dans l’énoncé ci-dessus il est précisé sur car, comme on l’a vu précédemment, un polynôme peut être scindé sur mais pas sur . Mais dans , x2 + 2x + 7 et x2 + 3x + 5 ont des racines complexes et sont donc factorisables : le polynôme est alors scindé dans ! — Voyons maintenant ce qui se passe si ce n’est pas le cas. A noter que pour une même matrice M, il peut bien sûr y avoir plusieurs vecteurs propres et plusieurs valeurs propres. Si det(A – λ Id) = (λ – 5)2(λ – 7)4(λ + 12) — E Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 12 5.1. Si oui, la diagonaliser. 12 5. Dans les deux cas, on a la relation M = PDP -1, ce qui termine la diagonalisation de la matrice ! Exercice 10 Question 1 Étudier la diagonalisation de . PSI Dupuy de Lôme – Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. Diagonalisation d'une matrice Applications de la diagonalisation Plan du cours 1 Eléments propres d'un endomorphisme 2 Polynôme caractéristique d'une matrice 3 Diagonalisation d'une matrice Diagonaliser une matrice diagonalisable Conditions de diagonalisabilité Exemples 4 Applications de la diagonalisation Puissance d'une matrice diagonalisable 2 − Ce procédé se ramène donc à une réduction maximale de l'endomorphisme, c'est-à-dire à une décomposition de l'espace vectoriel en une somme directe de droites vectorielles stables par l'endomorphisme. Ce sera une matrice diagonale dont la diagonale sera constituée des valeurs propres de M. Oui mais dans quel ordre ? Pour un polynôme P scindé, en appelant λi les racines de P : ⇔ MX = 4X (car λ = 4). A − 2 Faire de mˆeme a l’aide de fonctions du module sympy. ) Exercice 9. Pour diagonaliser A = 5 −3 6 −4 , on fabrique d’abord deux nouvelles matrices A−2Id et A−(−1)Id et on détermine pour chacune d’elles une base du noyau (ces deux valeurs 2,−1 sont les racines de l’équation det(A−λId)=0 ) : diagonaliser A 5 −3 6 −4 det(A−λId)=0 λ = 2 ւ ց−1. 3 1 Si une matrice M non diagonale a une unique valeur propre, alors elle n’est pas diagonalisable. Alors k MX = k λ X D’où λ1X = λ2X, d’où λ1 = λ2, ce qui contredit le fait que λ1 et λ2 soient différentes. En effet, supposons que vecteur X soit associé à deux valeurs propres différentes λ1 et λ2. U Il y a par exemple : On vérifie facilement que Oui mais comment choisir le vecteur propre associée à une valeur propre ? 0 En particulier : - Si la matrice M est sym etrique alors elle est diagonalisable. . —. Diagonalisation des matrices sym etriques r eelles. = Prenons une valeur propre λ. Il y a au moins un vecteur propre associé par définition. et Maintenant soit P la matrice ayant ces vecteurs propres comme colonnes : Alors « P diagonalise A », comme le montre un simple calcul : Remarquons que les valeurs propres λk apparaissent sur la diagonale de la matrice dans le même ordre que nous avons placé les colonnes propres pour former P. Soit – soit le polynôme caractéristique n’est pas scindé, et alors la matrice n’est pas diagonalisable Vocabulaire 3 {\displaystyle (u_{i})_{i\in I}} premier exemple portant sur la diagonalisation d'une matrice : La matrice, définie ligne par ligne avec la fonction rbind, peut aussi être définie colonne par colonne avec la fonction cbind. § 2. 3 0 Corrigé de l’exercice 2 : On calcule le polynôme caractéristique Si , par par Si . Valeurs propres d’un endomorphisme 12 5.2. x Quelques applications de la diagonalisation 1. = Comme base il ne faut donc qu’un seul vecteur vérifiant e système, on prend par exemple : A partir de cela, on peut former la matrice diagonale D ainsi que la matrice de passage P à partir des bases trouvées, à savoir les vecteurs X, Y et Z : Comme les deux premiers vecteurs appartiennent à E4, les deux premiers coefficients de D seront 4, et comme le troisième vecteur appartient à E2, le 3ème coefficient de D sera 2 : Le schéma ci-dessous représente la correspondance entre les colonnes de P et les coefficients de D : On aurait très bien pu mettre Z en premier puis X et Y dans P, mais alors l’ordre des coefficients de D aurait changé : est diagonalisable. — Si M est diagonalisable, que vaut alors la matrice D ?? 2 3 − T λ valeur propre de M ⇔ det(M – λ Id) = 0 Soit M 2M n(K) une matrice carr ee a coef- cients dans K, K = R ou C. Une matrice M4 est semblable a M s’il existe une matrice inversible Pd’ordre ntelle que M0= P 1MP: Proposition 1. Après une première partie assez théorique axée sur le vocabulaire, nous verrons concrètement comment diagonaliser une matrice, et les vidéos disponibles en fin de chapitre t’aideront encore plus à comprendre ! 3 . − Comparer. MX = 2X. —, Cela peut parfois servir dans les exercices…. Pour les valeurs propres : — En résolvant les systèmes qui permettent de déterminer les sous-espaces propres (on sait d'avance qu'ils sont de dimension ) on trouve que : avec . Par exemple : On pourrait aussi imaginer que dans P on ne mette pas X et Y l’un à côté de l’autre mais comme ils font partie du même sous-espace propre cela a peu d’intérêt (mais c’est mathématiquement faisable). Cela signifie que : — i 1 (en) Richard S. Varga, Matrix Iterative Analysis, Springer, 2010 (ISBN 978-3-64205154-8). En mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. = v Quelques applications de la diagonalisation 1. La matrice de passage P dont nous avons parlé précédemment sera en fait constituée de vecteurs propres, et même mieux des vecteurs des bases des sous-espaces propres ! tels que : En dimension finie, la diagonalisation revient en effet à décrire cet endomorphisme à l'aide d'une matrice diagonale. La diagonalisation est la détermination effective d'une matrice de passage transformant une matrice diagonalisable en une matrice diagonale, ou la décomposition d'un espace vectoriel en une somme directe de droites stables par un endomorphisme. 1 1 {\displaystyle B=U^{-1}AU={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&{-3}\end{pmatrix}}} Puissance d’une matrice semblable. —. 12 5. Diagonalisation Ladiagonalisationestuneopérationfondamentaledesmatrices. — Valeurs propres d’une matrice sym etrique r eelle. I 1 A noter que pour bien comprendre ce chapitre, il faut déjà maîtriser les bases des matrices, ce pourquoi tu es vivement encouragé à regarder d’abord les chapitres correspondant. 7 est racine de multiplicité 4 : il faut calculer la dimension de E7. − Diagonalisation I Si A2Rn nest sym etrique, elle est toujours diagonalisable sous la forme A= S S 1 avec S; 2Rn n I est la matrice diagonale des valeurs propres (r eelles). Soit (en dimension quelconque) p un projecteur, c'est-à-dire un endomorphisme idempotent : p2 = p. Il est annulé par le polynôme X2 – X = (X – 1)X, qui est scindé et à racines simples. Exercices. Cette matrice admet comme valeurs propres : Ainsi A qui est de taille 3, a 3 valeurs propres distinctes, donc est diagonalisable. avec . ) 0 —. — = Mais quel est le rapport de tout cela avec la diagonalisation ?? Attention qu’ici un sous-espace propre ne peut être de dimension 3 car l’autre étant au moins égal à 1, la somme serait au moins de 4, ce qui contredit une propriété vue précédemment (la somme des dimensions des sous-espaces propres est inférieure ou égale à n). Puissances d’une matrice diagonalisable 1.1. On détermine le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 : . ) Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur la diagonalisation de matrices ! Exercice 1 Soit . 6 est racine triple (autrement dit 6 est racine de multiplicité 3 : m(6) = 3) Encore une fois on peut combiner avec les cas particuliers précédents. La matrice, le polynôme caractéristique d'un endomorphisme est, dans l'ensemble des matrices carrées de taille fixée à coefficients complexes (qui sont toutes, dans l'ensemble des matrices carrées de taille fixée à coefficients réels trigonalisables sur ℝ (c'est-à-dire dont toutes les valeurs propres —. Les projecteurs sur les deux sous-espaces propres correspondants (supplémentaires l'un de l'autre) sont p et id – p. Si l'espace est normé (ou plus généralement si c'est un espace vectoriel topologique) et si p est continu, ces deux sous-espaces sont donc même supplémentaires topologiques. Cette transformaiton utilisée en algèbre linéaire afin de pouvoir ensuite réaliser des calculs plus facilement. ) —. – les sous-espaces propres de 4 et 9 sont de dimension 1 : la somme des dimensions est donc 2 qui n’est pas égal à 3 : la matrice M n’est pas diagonalisable. De la même manière que l’on regroupe l’ensemble des vecteurs propres d’une même valeur propre, on regroupe l’ensemble des valeurs propres d’une même matrice. Donc kX est un vecteur propre associé à la valeur propre λ ! Espace propre associ e a une valeur propre 13 … {\displaystyle E_{2}=\operatorname {Vect} \left\{{\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}}\right\}}. Mais que vaut dans ce cas la matrice D ? 1) On commence par calculer le polynôme caractéristique en le factorisant au maximum : les racines correspondent aux valeurs propres. -7 est racine simple (autrement dit -7 est racine de multiplicité 1 : m(-7) = 1), Il y a alors une définition importante à connaître : les polynômes scindés (nous allons voir maintenant quelques règles sur les polynômes puis nous ferons le lien avec la diagonalisation, donc ne t’étonnes pas si tu as l’impression que l’on s’éloigne un peu des matrices ). Mais c’est plus la contraposée qui est intéressante ici : Autrement dit, si une matrice M a une unique valeur propre k, et qu’elle n’est pas égale à k Id, alors elle n’est pas diagonalisable. —. Propriétés —. 0 Puissances d’une matrice diagonalisable 1.1. A noter que le vecteur nul fait partie de Eλ (car M × 0 = λ × 0) mais n’est pourtant pas un vecteur propre. 1 Faire de mˆeme a l’aide de fonctions du module sympy. 3 {\displaystyle u_{i}} — On note O la matrice de passage de la base canonique a la base de diagonalisation. i ( Diagonalisation des matrices Enonc´es´ Enonc´es des exercices´ Exercice 1 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´efinie par A = −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 Exercice 2 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´efinie par A = 0 −2 0 1 0 −1 0 2 0 dans R si possible, sinon dans C. On peut interpréter simplement la trace d'une matrice à l'aide de ses valeurs propres. On a donc MX = λ1X et MX = λ2X dim ( 2 Certains ont déjà été évoqués précédemment mais il a paru bon de les rappeler afin de te faire une idée précise de ces différents cas particuliers qui se retrouvent très souvent en exercice !! Parlons maintenant des sous-espaces propres. ∈ On nous dit que les valeurs propres sont 4 et 9. x 3ème cas particulier : 0 A Il s’agit du cas où une matrice M n’a qu’une seule valeur propre λ. u T La diagonalisation est la détermination effective d'une matrice de passage transformant une matrice diagonalisable en une matrice diagonale, ou la déco… avec et . Ainsi, une valeur propre possède une infinité de vecteurs propres ! 1 Elle consiste à rechercher et expliciter une base de l'espace vectoriel constituée de vecteurs propres, lorsqu'il en existe une. (qui est le coefficient dominant) R —. 3 x {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&3&-1\\2&-1&1\\0&0&2\end{pmatrix}}\in M_{3}(\mathbb {R} )}, χ Il est donc important de savoir si l’on travaille dans ou dans car on verra que pour une même matrice la conclusion n’est pas du tout la même selon le cas !! ( matrice P qui represente notre changement de variables.´ Enfin, pour terminer la diagonalisation, on calcule l’inverse de P (P est toujours inversible, il s’agit donc d’utiliser la formule vue a l’exercice 1. —Diagonalisation en dimension trois Exercice 2.1. Corrigé de l’exercice 1 : Si , par par Si . Diagonalisation des matrices et réduction des endomorphismes. Trouver les sous-espaces propres Après une première partie assez théorique axée sur le vocabulaire, nous verrons concrètement comment diagonaliser une matrice, et les vidéos disponibles en fin de chapitre t’aideront encore plus à comprendre ! Comme précédemment, c’est une matrice diagonale avec sur sa diagonale les valeurs propres. Sur chacune de ces droites, l'endomorphisme se réduit à une homothétie. —. Comme on est dans un espace de dimension 3, on sait d’après le cours sur la géométrie dans l’espace qu’il s’agit d’un plan (de vecteur normal (1 ; 0 ; 1)) : c’est donc un espace de dimension 2 ! On a bien : Si en revanche on prend Z, X, Y comme ordre pour P, on aura – 4, 1 et 2 pour D. ( -12 est racine simple : pas de problème Appliquer la condition nécessaire et suffisante de diagonalisation. On pourrait calculer le polynôme caractéristique et montrer que les valeurs propres sont 2 et 4 (entraîne-toi à le faire). = C'est le processus de diagonalisation. 2. 3 X − Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. ) = Si on a par exemple det(A – λ Id) = (λ – 4)2(λ – 6)3(λ + 7) : Il faut donc prendre deux vecteurs LIBRES vérifiant cette équation, par exemple : Il est assez évident que X et Y sont libres. Notations. = ) Le raisonnement va se baser sur les sous-espaces propres qui, rappelons-le, est constitué de vecteurs propres (et du vecteur nul). Le cas particulier que nous allons voir se retrouve souvent en exercice, et on demande souvent à le redémontrer. Une matrice M de dimension n est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est n. ( Toujours en dimension quelconque, soit s une symétrie, c'est-à-dire un endomorphisme involutif : s2 = id. C'est la somme des modules des coordonnées de , … 3 0 2 det(A – λ Id) est scindé à racines simples donc A est diagonalisable. X Il y a évidemment une infinité de possibilités pour choisir X et Y, du moment qu’ils sont libres tu peux prendre ceux que tu veux ! = 2 x Exemple : A est une matrice 4 x 4 et : A est triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux : 1, 5, 8 et 7 : A possède 4 valeurs propres et est une matrice d’un espace de dimension 4, donc A est diagonalisable. ) On en conclut que si M a n valeurs propres distinctes, chaque sous-espace propre est de dimension 1, et comme il faut prendre une base de chaque sous-espace propre on ne prend qu’un seul vecteur propre de chaque sous-espace (celui que l’on veut, le plus simple étant le mieux^^). Vect U Diagonalisation d’une matrice par blocs. En effet, si on a un vecteur propre X, tous les vecteurs proportionnels à X sont vecteurs propres associés à la même valeur propre. Nous verrons aussi à quoi sert la diagonalisation d’une matrice. Sur la diagonalisation des matrices 2x2 vYes Coudène, 20/10/04 On sait que toute matrice A, à coe cients réels ou complexes, dont les a-v leurs propres sont toutes distinctes, est diagonalisable. Question 2 Soit , montrer que est diagonalisable. 4 est racine double (autrement dit 4 est racine de multiplicité 2 : m(4) = 2) Un sous-espace propre est un espace vectoriel, il est souvent noté Eλ s’il est associé à la valeur propre λ. Un polynôme est dit scindé s’il peut se mettre sous la forme d’un produit de polynômes de degré 1. Mais avant cela, voyons un cas particulier. Soit M 2M n(K) une matrice carr ee a coef- cients dans K, K = R ou C. Une matrice M4 est semblable a M s’il existe une matrice inversible Pd’ordre ntelle que M0= P 1MP: Proposition 1. Tous les endomorphismes ne sont pas diagonalisables. 2 Sauf que si un sous-espace propre est de dimension 4 par exemple, sa base sera constituée de 4 vecteurs : la matrice P aura donc 4 vecteurs associés à une même valeur propre. 1 Cas particulier : une seule valeur propre. 2 est racine simple, on sait que son sous-espace propre est de dimension 1, on va donc se focaliser sur 4 qui est racine double (donc son sous-espace propre peut être de dimension 1 ou 2). ( Outil pour diagonaliser une matrice. − x 0 i Une diagonalisation possible est : I D’après ce que l’on vient de voir, cette matrice n’est diagonalisable que si le sous-espace propre associé est de dimension n. Une valeur propre ne peut pas exister sans vecteur propre et réciproquement. 3) Si la multiplicité de chaque racine correspond à la dimension du sous-espace propre, alors la matrice est diagonalisable et en regroupant les bases obtenues précédemment on forme la matrice P. On forme ensuite la matrice D comme vu ci-dessus. k Pour diagonaliser une matrice : Exo. Elle consiste à rechercher et expliciter une base de l'espace vectoriel constituée de vecteurs propres, lorsqu'il en existe une. L’ensemble des valeurs propres d’une matrice est appelé le spectre de la matrice. ) Une première conséquence est que si l’on a n valeurs propres distinctes, on aura n vecteurs propres distincts libres qui formeront une base et constitueront la matrice P, et M sera alors diagonalisable ! De même, chaque sous-espace propre ne peut être de dimension 2 pour les mêmes raisons (la somme des dimensions ferait 4). —. Le raisonnement va être basé sur le théorème suivant : — Cette transformaiton utilisée en algèbre linéaire afin de pouvoir ensuite réaliser des calculs plus facilement. En effet, si on dit que X est le vecteur nul, alors MX = 0 pour tout M, et λX = 0 quel que soit λ, donc le vecteur nul serait un vecteur propre pour toutes les matrices avec tous les réels comme valeurs propres, ce qui n’a pas beaucoup d’intérêt ni de sens… Si oui, la diagonaliser. Dans le même ordre que celui des vecteurs propres pour la matrice P ! Exemple : Prenons un exemple : soit la matrice M de taille 3 x 3 suivante : Une étude préalable nous permettrait de montrer que les valeurs propres sont 1 ; 2 et -4 : on a donc bien 3 valeurs propres distinctes d’un espace de dimension 3, donc M est diagonalisable. Un vecteur propre est un vecteur colonne, il est souvent noté X. U avec . avec α, x1, x2… éléments de , et n le degré de P. T 0 (X ≠ 0) de diagonalisation d’une matrice carr ee Ma coe cients r eels qui sont dans le cours et qu’il faut conna^ tre. En revanche, (λ2 + 2λ + 9)(λ + 5) n’est pas scindé car on ne peut pas factoriser λ2 + 2λ + 9 (en tout cas dans les réels, car son Δ est strictement négatif). 1 Cela reste vrai pour tous les polynômes de degré 2 dans , ils ont tous des racines (réelles ou complexes) et on peut les factoriser, ce qui permet d’avoir des polynômes scindés. – mettre dans P d’abord X et Y, puis Z, et alors D aura sur sa diagonale dans l’ordre 4, 4 et 2. ) Si la multiplicité est supérieure à 1 : il faut calculer la dimension du sous-espace propre : − La concaténation des bases des sous-espaces propres forme alors une base de vecteurs propres de l’espace (qui pourra servir à former la matrice P). La diagonalisation des matrices est en effet très courante dans les exercices ou les sujets portant sur les matrices. − est diagonalisable ssi . Avec cette calculatrice vous pouvez : calcul de le déterminant, le rang, la somme de matrices, la multiplication de matrices, la matrice inverse et autres. P(x) = α(x – x1)(x – x2)(x – x3)…(x – xn) Comparer. Si certains xi sont identiques, on les regroupe, ce qui donne une multiplicité de 2, 3, 4 etc…, En revanche, si tous les xi sont différents, on dit que le polynômes est scindé à racines simples (autrement dit la multiplicité de chaque racine est 1) :