Le plan (O,r,z) dans le repère cylindrique est un plan d’anti-symétrie de la distribution de courant. a = a ( n ξ θ . Et je ne sais pas calculer analytiquement ni le champ ni le flux dans une spire. x π Les équations que nous allons établir vont permettre de déterminer le champ axial et radial en n’importe quel point de l’espace, à l’intérieur ou à l’extérieur du solénoïde. L r a , et x l 2 ) i 2 2 0 + {\displaystyle \theta _{\rm {max}}=\pi /2} e par 2 N o 1 − π L r Or, sur les segments BC et DA, les vecteurs Au centre du solénoïde, c'est-à-dire en x = 0, cette formule devient : B π ) R 2 a r 2 . 3 2 θ → θ θ a 1 + s On veut calculer le champ magnétique … = θ ⁡ − s’écrit : θ d D Il est pratique de connaître en particulier la variation du champ près de l’axe du solénoïde. μ 2 A Lorsqu'on dispose de distributions très symétriques ou infinies, il est souvent plus simple d’utiliser le théorème d'Ampère pour calculer le champ magnétique engendré par la distribution : . ⋅ . Dans la médecine pour des machines de dialyse ou machine qui sert à contrôler le flux de médicaments injectés dans le sang du patient. Cette force linéaire est transférée au disque par les rainures et devient donc une force de rotation. Parcouru par un courant alternatif ou continu, il produit un champ magnétique dans son voisinage, et plus particulièrement à l'intérieur de l'hélice. {\displaystyle A_{\theta }={\frac {a\mu nI}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }cos\theta \ln \left[\xi +{\sqrt {\xi ^{2}+r^{2}+a^{2}-2arcos\theta }}\right]_{\xi _{-}}^{\xi _{+}}d\theta } s La notion de flux impose qu'il faut prendre en compte la composante de temps. × ξ a − 0 θ 2 θ ] Le solénoïde est utilisé dans une multitude d'applications technologiques du fait de ses propriétés électriques et magnétiques. ⋅ ln {\displaystyle B=\mu _{0}{\frac {NI}{l}}\left({\frac {l+2x}{2{\sqrt {(l+2x)^{2}+D^{2}}}}}+{\frac {l-2x}{2{\sqrt {(l-2x)^{2}+D^{2}}}}}\right)}. s o − r c c a ξ L I e d Circulation du champ magnétique a. spires de rayon i {\displaystyle \cos \theta _{0}} θ ) L Lorsqu'on déconnecte la pile, une forte énergie apparait ce qui permet au transformateur de jouer le rôle de survolteur. {\displaystyle B={\frac {\mu _{0}\,N\,i}{l}}}. Ici nous allons rapidement détailler les formules utilisées pour ces calculs. Le champ magnétique à l' intérieur d'un solénoïde infiniment long est homogène et sa force ne dépend ni de la distance de l'axe ni de la section transversale du solénoïde.. Il s'agit d'une dérivation de la densité de flux magnétique autour d'un solénoïde qui est suffisamment longue pour que les effets de frange puissent être ignorés. R x o μ → θ N → l Lorsqu'il est parcouru par une énergie électrique, il va créer une force selon son axe d’enroulement. o θ o 2 a 0 , où 0 θ A o Pour un solénoïde fait d'une série de n spires circulaires par unité de longueur ( μ . ( − a 2 Constitué d'un bobinage supposé infiniment long, un tel solénoïde parcouru par un courant d'intensité I crée un champ magnétique intérieur :. Désormais, on va pouvoir déterminer les composantes radiales et axiales du champ magnétique. ( s où 2 Pour plus de détails voir aussi : Finite length Solenoid potential and field. 0 n → ( 2 i ξ . 2 o + en x = 0 et A 2 L'unité de l'inductance est le henry (H) en l'honneur de Joseph Henry, un scientifique américain qui a découvert le phénomène d'induction électromagnétique indépendamment des recherches qu'a effectué l'anglais Michael Faraday. + 2 n ( = 2 + 0 B [ r B figure ci-contre). ) L A 2 {\displaystyle {\frac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}} c ) r Dans la sécurité pour des mécanismes de fermeture magnétique des portes dans les hôtels, les bureaux ou les zones de surveillance élevée. , la valeur de k s − = θ À l'extérieur du solénoïde, le champ est analogue à celui d'un aimant. 2 On considère un solénoïde infini d'axe (Oz), de rayon R, constitué de n spires par unité de longueur, chacune étant parcourue par une intensité I. . l = ( Le flux, par définition c’est B N S où B est le champ… θ a l 2. + μ 2 2 4 = + d Par identification, on obtient 5 –Solénoïde infini (de section transverse quelconque) : On considère un solénoïde infini de section transverse quelconque composé de spires jointives parcourues par un courant d’intensité I ; onnote n le nombre de spires par unité de longueur. {\displaystyle R} ∮ − r ) x θ sont orthogonaux. ∂ x n a Si je ne prends pas un fil de diamètre fini, je me retrouve avec des champs qui augmentent à l'infini quand on se rapproche du fil. − {\displaystyle \xi _{\pm }=z\pm {\frac {L}{2}}} r dans le solénoïde est pratiquement constant. ∫ → . . r {\textstyle x={\frac {R}{\tan(\theta )}}} ⁡ 2 On peut aussi aménager un entrefer dans le noyau qui permet une ouverture indispensable pour des applications de lecture/écriture des appareils tels que : magnétophone à bande magnétique ou disque dur d'ordinateurs. {\displaystyle B_{r}={\frac {\mu nI}{4}}\left[{\frac {a^{2}r}{(\xi ^{2}+a^{2})^{3/2}}}\right]_{\xi _{-}}^{\xi _{+}}}, B ϕ a ( ξ d Un solénoïde est modélisé par une juxtaposition de spires circulaires parcourues par un courant i. ξ L’intérieur d’un solénoïde est un cylindre mobile de fer ou d’acier appelé sous différents noms : armature, plongeur ou noyau. ∫ i K ( D'où : ξ 2 l ( , μ e s θ r r − N ξ r θ − ξ ] n Exploitation des résultats / rédaction du compte-rendu B r π n L’armature est montée au centre du disque dont la partie inférieure est rainurée. = ∂ ⁡ From self-help or business growth to fiction the site offers a wide range of eBooks from independent writers. − θ π , de même axe, parcourues par un même courant ( Le symbole L qui détermine l'inductance a été choisi en l'honneur de Heinrich Lenz qui a été un des premiers à travailler sur l'inductance électromagnétique[6]. s ⋅ {\displaystyle B_{r}} {\displaystyle B_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial r}}}. → 2 − s μ Exercice 4 : Spire dans un solénoïde infini Un solénoïde très long comporte n spires par unité de longueur, de rayon R, est parcouru par un courant d’intensité I constante. μ 2 ξ μ d 0 Où ∫ N tan Edmund E. Callaghan et Stephen H. Maslen. = Cette force est proportionnelle au changement d’inductance de la bobine en prenant en compte le changement de position de l’armature et le courant traversant la bobine (Loi de Faraday sur l’induction). k 2 θ θ ( , − y ln − = A En remplaçant d c ( a Lorsque le courant est appliqué, l’armature recule dans le bobinage. cos θ et disposées régulièrement sur une longueur [ 2 Baccalauréat. r d Conservation du flux magnétique b. Lignes de champ et tubes de flux 2. ( ± K Il existe des calculateurs sur Internet pour calculer l'inductance selon la géométrie[7]. a r L'énergie est entièrement stockée dans le champ magnétique dans le noyau de la bobine. 2 ⁡ ℓ 2 En faisant tendre En intégrant les équations de 3 ∂ sin C 2 0 est la distance d'un point local sur la spire vers le point où l'on souhaite calculer le champ, Dans le cas d'un solénoïde Φ . {\displaystyle B=-{\frac {\mu _{0}\,N\,i}{l}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \qquad \Longrightarrow \qquad B={\frac {\mu _{0}\,N\,i}{l}}\left(\cos \theta _{2}+\cos \theta _{1}\right)}. r μ ) 2 n θ A ( = ) θ ( B {\displaystyle L} On peut lui ajouter un noyau de fer doux auquel cas il sera apparenté à un électroaimant. μ {\displaystyle N} Par conséquent l'intégrale sur le segment CD (situé à l'extérieur du solénoïde) est nulle. 2 La dernière modification de cette page a été faite le 28 décembre 2018 à 16:33. ∫ On peut démontrer que le champ magnétique est nul à l'extérieur d'un solénoïde infini. → Flux du champ magnétique a. + ∂ + + o s Alors que pour un solénoïde infini, je n'ai pas le problème. s 2 2 c 1.3. = π ξ I o + I I ( k ln μ a θ = d ( ∫ k Dans un électroaimant rotatif, nous retrouvons la même configuration de bobinage et d’armature, mais avec une petite modification. r est la distance axiale du point d’origine vers le filament. Donc, le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du solénoïde (parce qu’il est infini). r s 2 s o . l 2 {\displaystyle A_{\theta }} → ] r 2 ⁡ On peut utiliser un transformateur relié à une pile. , on obtient : A 2 ∫ → A ξ ( + ) n ⁡ {\displaystyle \mu _{0}} A a Par raison de symétrie, en tout point est parallèle à la direction du solénoïde. ∂ Le modèle du solénoïde infini constitue la base de l'étude théorique des solénoïdes réels. {\displaystyle \mu } B Al-Shaikhli, H. Fatima, K. Omar, A. Fadhil, J. Lina. 0 + On introduit parfois un noyau de fer doux sur l'axe, qui assure la diffusion du champ magnétique et augmente l'inductance. l l On voit que le premier terme s’élimine. est le rayon de la spire, r [ ξ μ 2 − θ − r − ℓ I = z d {\displaystyle B_{0}=-{\frac {\mu _{0}\,N\,i}{l}}\int _{\theta _{\rm {max}}}^{\theta _{0}}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta } 2 B , En effet, lorsque le flux du champ magnétique qui traverse un circuit conducteur varie au cours du temps, il apparaît dans ce circuit une tension appelée force électromotrice e. Ces phénomène est décrit par la loi de Lenz-Faraday. r 2 m N π {\displaystyle A_{\theta }={\frac {a\mu nI}{2\pi }}\int _{\xi _{-}}^{\xi _{+}}d\xi \int _{0}^{\pi }{\frac {cos\theta d\theta }{\sqrt {\xi ^{2}+r^{2}+a^{2}-2arcos\theta }}}}. c θ = ( Champ créé sur l'axe d'une spire circulaire. + − ) e B i Le théorème d'Ampère appliqué sur le contour ABCD donne : La relation de Chasles permet de décomposer l'intégrale en somme de quatre intégrales : = ξ = sin 0 2 sin × θ r 2 ) On obtient ainsi : μ En multipliant le second terme par − μ La plupart de ces mécanismes sont équipés d'un ressort. ( , finalement : Interprétation : Le champ magnétique créé au centre augmente donc en ajoutant des spires ou en augmentant l'intensité du courant, mais diminue en agrandissant le diamètre du solénoïde. s i a + 2 1 r 0 EXERCICE N°2 On a obtenu la carte de champ magnétique suivante, dans le plan (xOz): 1. a d ∂ c − d d vers 0, on a : B {\displaystyle L={\frac {\mu _{0}\,l}{2\pi }}\ln \left({\frac {a}{b}}\right)} − π x {\displaystyle \mathrm {d} B(x)={\frac {\mu _{0}\,N\,i}{l}}\,{\frac {\sin(\theta )^{3}}{2R}}\,\mathrm {d} x} 2 Au centre, le champ ressemble à celui dû à une simple boucle[4],[5]. c 4 {\displaystyle A_{\theta }={\frac {a^{2}\mu nIr}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left[{\frac {\xi sin^{2}\theta d\theta }{(a^{2}+r^{2}-2arcos\theta ){\sqrt {\xi ^{2}+r^{2}+a^{2}-2arcos\theta }}}}\right]_{\xi _{-}}^{\xi _{+}}}. {\displaystyle E} → n t Dans l’industrie, le terme solénoïde est aussi utilisé pour se référer à un transducteur. θ sur ordinateur, on obtient une description du champ magnétique créé par un solénoïde fini. On peut également exprimer ces équations en fonction d’intégrales elliptiques : B ξ − On peut réécrire θ 2 Champ créé par un solénoïde infini Le champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde infini (ou non infini mais en ne se plaçant pas trop près des extrémités), est uniforme et proportionnel à l’intensité i qui le traverse : B (en Tesla) = µ 0.n.i (en A) avec µ 0 = 4π10-7 S.I. 2 + = a + 2 Parcouru par un courant, le solénoïde produit un champ magnétique dans son voisinage, et plus particulièrement à l'intérieur de l'hélice où ce champ est quasiment uniforme. → → μ l ) r − n 2) Quelle est l’énergie magnétique de la bobine ? C'est pourquoi le solénoïde prend aussi le terme de bobine. ] On s'aperçoit alors que ce champ est quasi-homogène dans tout le volume délimité par le solénoïde. Un plan infini portant une densité surfacique de charge σ. θ 2 1) Déterminer le champ magnétique créé par la bobine parcourue par le courant I. a Calculer le champ magnétique produit par le solénoïde en tout point de (Oz). [ {\displaystyle r} 0 solen "tuyau, conduit" + gr. {\displaystyle K} ] ξ 2 . ( θ N sous la forme : A | {\displaystyle B(x)=\mu _{0}\,i\,{\frac {\sin(\theta )^{3}}{2R}}} θ θ π + Stocker de l'énergie électromagnétique. θ ξ {\displaystyle \Phi =N\times B\times S}. 2 l + ℓ − ∫ Simplification de l’expression de → par utilisation des symétries et invariances; Choix du contour d'Ampère fermé (en fonction de → et de la distribution), puis orientation du contour. → θ ∫ Quand on impose un courant électrique à travers le fil, un champ magnétique est créé. ) 2 n Par conséquent, on peut écrire : + = Si on considère un solénoïde infiniment long de rayon très petit, le champ magnétique dans tout l'espace est celui d'un monopôle magnétique. θ = 2 ξ + θ μ 0 θ 2 r i ϕ c θ = − 0 μ 2 Elle possède aussi des propriétés électromagnétiques car associée à un aimant (électroaimant) ou une autre bobine (transformateur, bobines de Helmholtz...) peut servir de transformateur de tension, de mécanisme de moteur, d'interrupteur ou encore de microphones. 2 c moyenne du champ magnétique B est telle que lB=µ 0 I. c − ∫ Le champ magnétique est uniforme à l’intérieur comme à l’extérieur du solénoïde mais pas avec la même valeur.