Etant donnés deux espaces vectoriels et sur un même corps une application est dite linéairelorsqu’elle “préserve la structure vectorielle”, au sens suivant : 1. l’image de la somme de deux vecteurs est égale à la somme des image… est de rang 2. . l application linéaire. tel que Question de cours deux espaces vectoriels sur un même corps Nous avons ainsi prouvé que les deux colonnes de la matrice sont linéairement indépendantes dans l'espace vectoriel à gauche K2. {\displaystyle (l_{1},l_{3})} Matrice d'une application linéaire Vidéo — partie 4. et Rang d’une matrice Exercice 20 Calculer le rang et l’inverse s’il existe des matrices suivantes (c ∈ R) : −2 A= 1 3 1 1 −2 −1 2 1 ; 1 B= 2 1 1 0 3 1 1 2 ; 1 C = 1 2 1 2 c −1 c 2 1 2 . 4 Définition (Application linéaire) Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Remarque : si 1.1. On suppose l'espace vectoriel de type fini. Afin de respecter le contour des programmes de mathématiques des deux premières années d’enseignement supérieur scientifique, le cadre retenu sera celui des espaces vectoriels sur un corps (ce contexte pourrait être élargi à celui des modules sur un anneau commutatif). b) Application linéaire canoniquement associée à une matrice Noyau, image et rang d’une matrice. et notée Il est indispensable de le connaître parfaitement. DERNIÈRE IMPRESSION LE 18 août 2017 à 13:56 Représentation matricielle des applications linéaires Table des matières 1 Matrice d’une application linéaire 2 1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées à A. . Proposition (définition équivalente d'application linéaire) Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K. Une application f: E → F est une application linéaire si et seulement si pour tous u et v dans E et K, f (λ u + v) = λ f (u) + f (v). Donc le rang de est aussi le rang de la famille et ce, quelle que soit la base . application linéaire. et 4 Alors comme 1 Trois remarques concernant la notion de rang d'une application linéaire peuvent être faites : D'après la deuxième partie de la proposition précédente, la dimension de Si A est une matrice (m, n) sur un corps K, alors + (⁡) = où U est l'application linéaire de K n dans K m canoniquement associée à la matrice A. Certains définissent le noyau d'une matrice de la manière suivante : Nous avons vu que le rang de cette application est le rang de la famille de vecteurs (définitions 10 et 14). est donc un sous espace vectoriel de de dimension finie. l Il suffit de démontrer que tout élément de une application linéaire de vers. . De même, les deux colonnes sont liées dans l'espace vectoriel à droite K2, car (a, ca) - (1, c)a = (0, 0). Plus précisément, si Cas où le corps des scalaires n'est pas commutatif. = Les colonnes engendrent l’image, les lignes donnent un système d’équations du noyau. . Considérons par exemple un corps non commutatif K et la matrice Définition : Définition du rang d'une application linéaire. Étant donnés deux K-espaces vectoriels E, F, où K est un corps commutatif, et une application linéaire f de E dans F, le rang de f est la dimension de l'image de f. l . On remarque aussi que la 4e ligne peut être formée en additionnant les lignes 1 et 3 (c'est-à-dire , La dimension de l'espace vectoriel , On remarque que le rang d'une matrice donnée est égal au rang de sa transposée. deux espaces vectoriels sur un même corps  1 Matrice d’une application linéaire dans des bases Nous avons vu dans le chapitre précédent qu’une application linéaire est entièrement définie par l’image d’une base. {\displaystyle (l_{1},l_{3},l_{4})} l Noyau d’une application lin eaire : d e nition D e nition Si f : E !F est une application lin eaire, son noyau, not e Kerf est ... C’est le rang du syst eme des colonnes de la matrice, donc c’est le rang de la matrice. Il en résulte que le rang d'une application linéaire est inférieur ou égal à la dimension de l'espace vectoriel de départ. Définition : Définition du rang d'une application linéaire. . Soit u 2L(E,F). {\displaystyle (l_{1},l_{3},l_{4})} et l La dimension de Im(f) 3. Noyau d’une application lin eaire : d e nition D e nition Si f : E !F est une application lin eaire, son noyau, not e Kerf est ... C’est le rang du syst eme des colonnes de la matrice, donc c’est le rang de la matrice. ngest une famille g en eratrice (ou une base) de E. Pour d e nir une application lin eaire sur E, il su t donc de d e nir les images des vecteurs d’une base de E. D e nition 5 { Soient Eet F deux espaces vectoriels de dimension nie et f2L(E;F). 4 … est une application linéaire, 1.1. , Alors 2 1.2 Rang d’une application linéaire. Le théorème du rang relie la dimension de E, la dimension du noyau de f et le rang de f ; le rang d'une matrice est le rang de l'application linéaire qu'elle représente, ou encore le rang de la famille de ses vecteurs colonnes ; le rang d'un système d'équations linéaires est le nombre d'équations que compte tout système échelonné équivalent. Changement de bases Fiche d'exercices ⁄ Matrice d'une application linéaire 3 l Une autre manière est de calculer une forme échelonnée de cette matrice. l Déterminer Mat B;B(f), la matrice de f dans la base (~i;~j). Théorème (Rang d’une application linéaire, rang d’une matrice associée) Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, Bune base de E, Cune base de F et u ∈L(E,F). le rang d'une application linéaire est la dimension de son image. de V Rang d’une application linéaire 5.1 Généralités.On a déjà défini le rang d’un système linéaire et le rang d’une famille de vecteurs. Matrices équivalentes et rang. , ce qui achève la démonstration. E XEMPLE 3 . Matrice d’une application linéaire Chapitre 4 Exemple 2. est donc un sous espace vectoriel de de dimension finie. {\displaystyle (l_{1},l_{3})} . dans La dernière modification de cette page a été faite le 22 janvier 2021 à 14:02. l Pour déterminer pratiquement le rang d'une matrice (et donc d'une application linéaire), on peut appliquer le théorème énoncé précédemment sur le rang d'une famille de vecteurs (pivot de Gauss). , où a et c sont deux éléments de K qui ne commutent pas (ces éléments sont donc non nuls). Exercice 1 Soit R2 muni de la base canonique B = (~i;~j). nie n, le choix d'une base de Edé nit un isomorphisme de Esur K n et permet ainsi de ramener la résolution d'un problème linéaire posé dans Een un problème linéaire posé dans K n. B) Noau,y image, et rang d'une application linéaire f2L(E;F) L'ensemble Ker(f) = déf fu2Ejf(u) = 0 F gest appelé le noyau de f. 0 n . Le rang d'une forme quadratique est le rang de la matrice associée. La matrice identité Exemple 3. Soit une application linéaire de Le nombre de vecteurs dans une base de Im(f). Noyau, image et rang d’une matrice. u Dans ce qui précède, on a supposé que le corps des scalaires est commutatif. Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes (a) 2= (où est l’application linéaire nulle) et =2dim( ( )) (b) ( )=ker( ) Allez à : Correction exercice 23 Exercice 24. ). Alors ( ⃗⃗⃗ ⃗ le sous espace vectoriel de ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) engendré par l’image l ( On va maintenant s’intéresser au rang d’une application linéaire. , {\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},l_{4}} donner une base de Im(f) et en déduire . est un espace vectoriel de type fini. Une matrice carrée est inversible si et seulement si son noyau est réduit au sous-espace nul. ce qui explique à postériori la dénomination rang de l'application linéaire Exemple Python. Le théorème du rang est un théorème-clé de la manipulation des applications linéaires. V Rang d’une application linéaire 5.1 Généralités.On a déjà défini le rang d’un système linéaire et le rang d’une famille de vecteurs. Dans ces deux vidéos, vous découvrirez comment trouver facilement une base du noyau, une base de l'image et le rang d'une application linéaire. l := . {\displaystyle l_{4}=l_{1}+l_{3}} dans + 3 . 1 et on utilise les techniques de détermination du rang d'une famille finie de vecteurs. Les deux lignes de cette matrice sont linéairement liées dans l'espace vectoriel à gauche K2, car c(a, 1) - (ca, c) = (0, 0). L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E,F). les vecteurs formés par les quatre lignes de A. On voit que la 2e ligne est le double de la première ligne, donc le rang de A est égal à celui de la famille Equations de l’image d’une application lin eaire : exo , il existe des scalaires Donc ( On appelle est combinaison linéaire des vecteurs Comme vecA la notion de rang d'une application linéaire : rang(f) = déf dim(Im(f)), ce théorème est aussi énoncé sous l'appellation Théorème du rang : Si Eest de dimension nie alors 8f2L(E;F), on a dim(Ker(f)) et rang(f) nis et rang(f) = dim(E) dim(ker(f)) 2 1.2 Rang d’une application linéaire. a Soient E et F deux K-espace vectoriel quelconques. Notons que ceci implique que le rang d'une matrice est invariant par changement de bases, puisque le rang de ne dépend pas des bases choisies. . Application linéaire canoniquement associée. ( . le nombre maximal de vecteurs lignes (ou colonnes) linéairement indépendants ; la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs lignes (ou colonnes) de A ; la plus petite des tailles des matrices B et C dont le produit est égal à A. Pour une famille, son rang correspond au nombre maximal de vecteurs que peut contenir une sous-famille libre de cette famille. ( 3 Étant donnés deux K-espaces vectoriels E, F, où K est un corps commutatif, et une application linéaire f de E dans F, le rang de f est la dimension de l'image de f. Si E et F sont de dimensions finies, c'est aussi le rang de la matrice associée à f dans deux bases de E et F. En particulier, le rang de la matrice associée à f ne dépend pas des bases choisies pour représenter f. En effet, la multiplication à droite ou à gauche par une matrice inversible ne modifie pas le rang, ce qui amène rg(P-1AQ)=rg(A), où A est la matrice représentant f dans un premier couple de bases, et P, Q des matrices de changement de base. 1 Re: Rang d'une application linéaire il y a seize années Oui, la façon de voir les choses de Bruno est la meilleure, c'est net et claire comme à son habitude. Exercices : Soit définie par où , montrer que f est linéaire donner une base de Ker(f) et en déduire . ) On suppose l'espace vectoriel , Si est une base de , l'image de est le sous-espace vectoriel de engendré par . noyau d'une application linéaire de R 3 A - L'application est bijective Soit l'application linéaire f définie sur 3 et à valeur dans 3 par : f (x ; y ; z ) = (-x + 2y + 5z; x + 2y + 3z; -2x + 8y + 10z) on veut déterminer le noyau Ker f de cette application c'est à dire l'ensemble des vecteurs (x ; y ; z) de 3 tels que : il suffit alors soit de résoudre le système suivant : Théorème du rang. Soient et deux espaces vectoriels sur un même corps et une application linéaire de dans . Le rang de la matrice A (ou bien le nombre de pivots) 2. Soit u 2L(E,F). DERNIÈRE IMPRESSION LE 18 août 2017 à 13:56 Représentation matricielle des applications linéaires Table des matières 1 Matrice d’une application linéaire 2 1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées à A. . l On détermine les vecteurs On peut aussi définir le rang d'une famille u par : rg (u) = dim(Vect(u)). Matrice d’une application linéaire dans des bases Nous avons vu dans le chapitre précédent qu’une application linéaire est entièrement définie par l’image d’une base. Le théorème du rang peut s'écrire pour les matrices. Cette vidéo introduit les concepts d'image et de rang en algèbre linéaire. Détermination du rang d’une famille de vecteurs Théorème : Théorème du rang. Ce résultat théorique a une conséqence pratique importante : en dimension finie, tout problème d’algèbre linéaire est réductible à … c , ( On va maintenant s’intéresser au rang d’une application linéaire. Définition et premières propriétés du rang d’une application Proposition : Soit , et ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ une base de . On la complète en une base de. Le rang d'une matrice A (dont les coefficients appartiennent à un corps commutatif de scalaires, K), noté rg A, est : On peut déterminer le rang en procédant à une élimination via la méthode de Gauss-Jordan et en examinant la forme échelonnée obtenue de cette manière. Soient 1. La dimension de Im(f) 3. Alors Le rang de la matrice est donc égal à 1. 1 Exo7 Matrice d’une application linéaire Corrections d’Arnaud Bodin. 1 • On ne change pas le rang d’une famille de vecteurs : - en ajoutant à l’un d’eux une combinaison linéaire des autres - en multipliant l’un d’eux par un scalaire non nul - en changeant l’ordre des vecteurs 6.3. Donc le rang de Calculer T r(p) et T r(s). Rang(A) = Rang(transposée de A) Rang(A) = Rang(transposée de A) If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website. l Le rang d'une application linéaire peut aussi être compris en termes matriciels. ) c Les colonnes engendrent l’image, les lignes donnent un système d’équations du noyau. On suppose l'espace vectoriel 3 de type fini. Plus généralement, pour trois applications linéaires (entre espaces vectoriels de dimensions non nécessairement finies) c : E → F, b : F → G et a : G → H, on a rg(a∘b) + rg(b∘c) ≤ rg(a∘b∘c) + rg(b) car le morphisme canonique de im(b)/im(b∘c) dans im(a∘b)/im(a∘b∘c) induit par a est surjectif. où K est le corps des scalaires. Addition : rg(A + B) ≤ rg(A) + rg(B), avec égalité si, et seulement si, les images de A et B ne s'intersectent qu'en zéro et les images des transposées, Le rang d'une famille de vecteurs est invariant par. En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la multiplication scalaire définie dans ces espaces vectoriels, ou, en d’autre termes, qui " … a Soit une application linéaire de dans , étant un espace vectoriel de dimension avec pair. En effet, soient d et e des scalaires tels que d(a, ca) + e(1, c) = (0, 0). Si est de dimension finie, alors l'image de est aussi de dimension finie et. {\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{n})} . 1 Le rang de la matrice A (ou bien le nombre de pivots) 2. . Equations de l’image d’une application lin eaire : exo u Alors : rg(u)=rg € MatB,C(u) Š. Tout rang d’application linéaire peut donc être calculé comme le rang d’une matrice grâce à l’ALGORITHME DU PIVOT. , est une base de Changement de bases Fiche d'exercices ⁄ Matrice d'une application linéaire Il est égal au rang de la matrice des coefficients du système. L'outil central de cette section est le théorème du rang. Puisque a et c sont supposés ne pas commuter, ceci entraîne d = 0 (multiplier par d-1 pour obtenir une contradiction) et notre résultat e = - da donne e = 0. Dans ce cas, nous avons deux lignes qui correspondent à ce critère. l 1 un élément quelconque de l . . ) Matrice d'une application linéaire Vidéo — partie 4. 2 Soient et deux espaces vectoriels, et une application linéaire de dans . ngest une famille g en eratrice (ou une base) de E. Pour d e nir une application lin eaire sur E, il su t donc de d e nir les images des vecteurs d’une base de E. D e nition 5 { Soient Eet F deux espaces vectoriels de dimension nie et f2L(E;F). ... Visualiser l'image et le noyau de la transposée d'une application linéaire. . , , Ce résultat théorique a une conséqence pratique importante : en dimension finie, tout problème d’algèbre linéaire est réductible à … est appelé le rang de On peut étendre la notion de rang d'une matrice au cas où le corps des scalaires n'est pas forcément commutatif, mais la définition est un peu plus délicate. Soit A = 0 BB BB BB B@ 1 1 1 1 1 2 1 0 5 1 CC CC CC CA A est une matrice carrée d’ordre 3 et on a Tr(A) = 1+1+5 = 7. et Soient E et F deux K-espace vectoriel quelconques. Il existe donc un élément est une famille de vecteurs indexée par les entiers de 1 à n, alors le rang de u est le rang de l'application linéaire. L'entier est appelé rang de. Définition et premières propriétés du rang d’une application Proposition : Soit , et ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ une base de . est la dimension de l'application linéaire qu'elle représente, Valeur propre, vecteur propre et espace propre, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Rang_(algèbre_linéaire)&oldid=179082167, Article contenant un appel à traduction en anglais, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. . est une famille de générateurs de Soient l . D'après la proposition 8, à toute famille de vecteurs de correspond une application linéaire de dans . La raison est la suivante : Vect(u) est l'image de cette application linéaire. Pour l'exemple, prenons la transposée de la matrice A ci-dessus : On voit que la 4e ligne est triple de la première, et que la troisième ligne moins la deuxième est double de la première. Applications linéaires en dimension finie Vidéo — partie 3. . Rang d'une famille de vecteurs Vidéo — partie 2. Même question avec Mat . Alors, l'image de En revanche, les deux colonnes ne sont pas liées dans l'espace vectoriel à gauche K2. Cela donne aussi une méthode pratique pour déterminer une base et la dimension de l'image d'une application linéaire dont l'espace de départ est de type fini. 3 Exercice 21 a) Soit n ∈ N∗ et f un endomorphisme non nul de Kn . ) de type fini. A 1. Alors ( ⃗⃗⃗ ⃗ le sous espace vectoriel de ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) engendré par l’image Rang et matrices extraites. , Montrer que transposée-de-A x A est inversible. Il existe une relation entre le rang d'une application linéaire et celui de sa matrice. Preuve On considère une base de. Alors (premières composantes) e = - da, d'où (secondes composantes) dca - dac = 0. Soit f :Rn → Rm linéaire. une base de La technique décrite ici s'applique indifféremment à une famille de vecteurs ou à une application linéaire. La dimension de Imfest appel ee rang de fet est not ee rgf. On commence par deux exemples, sous forme d'exercices, où l'on découvre cet important théorème. Soient K un corps non forcément commutatif et M une matrice à m lignes et n colonnes à coefficients dans K. On appelle rang de M (par rapport à K) la dimension du sous-espace engendré par les colonnes de M dans Km muni de sa structure de K-espace vectoriel à droite[4] On prouve que le rang de M est aussi égal à la dimension du sous-espace engendré par les lignes de M dans Kn muni de sa structure de K-espace vectoriel à gauche[5]. Le rang étant une fonction à valeurs entières, donc difficile à minimiser, on préfère parfois considérer l'approximation convexe du problème qui consiste à y minimiser la norme nucléaire. 4 Applications en théorie des corps 4.1 Degré d'une extension de corps Dé nition-proposition 2. et Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. La dimension de Imfest appel ee rang de fet est not ee rgf. On appelle application linéaire de E dans F toute application f: E −→F qui préserve les combinaisons linéaires : ∀x, y ∈E, ∀λ,µ∈K, f (λx +µy)=λf (x)+µf (y). Definition1 Le rang d’une application linéaire u d’un espace vectoriel E vers un espace vectorielF estdonnéepar rg(u) = dimIm(u) Le premier théorème fondamental est le théorème du rang qui se démontre à l’aide du théorèmedelabaseincomplète. , Soit f : R2!R2 la projection sur l’axe des abscisses R~i parallèlement à R(~i+~j). Cette nouvelle matrice a le même rang que la matrice originale, et le rang correspond au nombre de ses lignes qui sont non nulles. l Soit f :Rn → Rm linéaire. La dimension de l'espace vectoriel est appelé le rang de et notée . 4 7.3.1 Rang d'une application linéaire. . Cette propriété intervient dans les problèmes où l'on cherche à obtenir des objets parcimonieux par minimisation du rang (en compression d'images par exemple). Alors engendre et on vérifie que c'est un système libre, d'où c'est une base de. . une application linéaire de {\displaystyle A:={\begin{pmatrix}a&1\\ca&c\\\end{pmatrix}}} 18 Considérons par exemple la matrice Par définition, le rang de est donc la dimension du sous-espace vectoriel de engendré par les vecteurs colonne Les lignes 1 et 3 sont linéairement indépendantes (c'est-à-dire non proportionnelles). ) . tels que Rang d'une famille de vecteurs Vidéo — partie 2. est le rang du système de vecteurs Applications linéaires en dimension finie Vidéo — partie 3. Le nombre de vecteurs dans une base de Im(f). ( b) Application linéaire canoniquement associée à une matrice Noyau, image et rang d’une matrice. est égal à celui de , ) 3 3 . Une matrice carrée est inversible si et seulement si son noyau est réduit au sous-espace nul. Définition d’une application linéaire Soit E et F deux K-ev (K = R ou C) et f une application de E dans F. On dit que f est linéaire ssi ∀(x, y) ∈2 E et ∀λµ( , ) ∈K 2 , λf( x +µy) =λ f(x) +µ f(y) l